22 Φεβρουαρίου 2011

Γωνίες, είδη γωνιών και μέτρηση

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ λέγονται πλευρές της γωνίας. Υιοθετώντας δεξιόστροφο προσανατολισμό, το γραμμοσκιασμένο υποσύνολο του επιπέδου λέγεται εσωτερικό και το μη γραμμοσκιασμένο, εξωτερικό της γωνίας.

Η γωνία ονομάζεται με τρία κεφαλαία γράμματα, όπου το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση (ΑΟΒ ή ΒΟΑ), βάζοντας από πάνω του το σύμβολο της γωνίας (^) ή μόνο με το γράμμα της κορυφής (Ο) με από πάνω το σύμβολο της γωνίας ή με ένα μικρό γράμμα (α) και πάντα το σύμβολο της γωνίας από πάνω του...

Τα είδη των γωνιών είναι η ορθή, η οξεία και η αμβλεία
  • Μία γωνία στην οποία οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγεται ευθεία γωνία. Με άλλα λόγια κάθε ευθεία με ένα σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ως ευθεία γωνία.
  • Μια γωνία το εσωτερικό της οποίας δεν περιέχει κανένα σημείο λέγεται μηδενική γωνία, ενώ μια γωνία το εσωτερικό της οποίας περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της λέγεται πλήρης γωνία. Κάθε ημιευθεία μπορεί να θεωρηθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.
  • Ορθή είναι μία γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους.
  • Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται οξεία και κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται αμβλεία γωνία.

Για να διαπιστώσουμε τι είδους γωνία είναι χρησιμοποιούμε το γνώμονα ή το μοιρογνωμόνιο

Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας, δηλαδή η μία από τις 90 ίσες γωνίες στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία:

1 ορθή = 90 μοίρες και 1 μοίρα = 1/90 της ορθής

Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της και όχι από το μήκος των πλευρών της π.χ. στο παρακάτω σχήμα η γωνία ΓΟΔ είναι μεγαλύτερη από την ΑΟΒ, γιατί έχει μεγαλύτερο άνοιγμα.

Για τη μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο κάνοντας τα παρακάτω:
  • Βάζουμε το σημάδι που έχει το μοιρογνωμόνιο στο κέντρο του, πάνω στην κορυφή της γωνίας.
  • Βάζουμε την ένδειξη 0 μοίρες στη μία πλευρά της γωνίας (ίσως να χρειαστεί να προεκτείνεις τις πλευρές της γωνίας)
  • Διαβάζουμε την ένδειξη στην άλλη πλευρά της γωνίας.
Για να δείτε παραστατικά τη μέτρηση γωνιών ΚΛΙΚ ΕΔΩ

Για να μετρήσετε γωνίες μόνοι σας ΚΛΙΚ ΕΔΩ

Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε γωνίες στο μέγεθος που εμείς θέλουμε χρησιμοποιώντας το χάρακα και το μοιρογνωμόνιο:

  • Με το χάρακα χαράσσουμε μια ημιευθεία Αχ
  • Βάζουμε το μοιρογνωμόνιο με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο του να είναι στο Α και η Αχ να περνάει από το 0. Σημειώνουμε ένα σημείο όπου θέλουμε π.χ. στο 70.
  • Με το χάρακα τώρα χαράσσουμε την ημιευθεία ΑΒ. Η γωνία που σχηματίστηκε θα είναι 70 μοίρες
Για να δείτε παραστατικά πώς σχεδιάζουμε γωνίες στο επιθυμητό μέγεθος ΚΛΙΚ ΕΔΩ

Δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές εάν έχουν άθροισμα 180° (δεξιά)

Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα 90° (αριστερά)

Κατακορυφήν γωνίες λέγονται οι γωνίες που οι  πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες (κάτω)


  • Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες
  • Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
  • Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες και αντίστροφα.
  • Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους. 
Ο Δάσκαλος του Ε2
Μιλτιάδης Ζωγράφος

12 σχόλια:

  1. τι ειναι μη αντικειμενες ημιευθεις????Θα ηθελα ορισμο και παραδειγμα!!!!!!!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Προφανώς εννοείς αντικείμενες και όχι ΜΗ αντικείμενες... Γιατί το δεύτερο είναι πολύ απλό. Δυο οποιεσδήποτε ημιευθείες που βρίσκονται οπουδήποτε στον χώρο...

      Αντικείμενες ημιευθείες όμως, είναι εκείνες στις οποίες το τέλος της μιας είναι η αρχή της επόμενης... Παράδειγμα μπορείς να δεις στην παραπάνω ανάρτηση εκεί που λέει για τις κατακορυφήν γωνίες... Οι ημιευθείες ΓΟ και ΟΒ είναι αντικείμενες, όπως και οι ΔΟ και ΟΑ...

      Ελπίζω να βοήθησα...:-)

      Μιλτιάδης Ζωγράφος

      Διαγραφή
  2. οταν θελουμε να μετρησουμε μια αμβλεια γωνια μετραμε με την εξω μερια του μοιρογνωμονιου η με τη μεσα; παρακαλω απαντηστε μου συντομα γιατι την πεμπτη δινω εξετασεις...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. πως μετραμε τις τις κατακορυφην γωνιες ???

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Θα μπορούσατε σας παρακαλώ να μου πείτε αναλυτικά πώς μπορούμε να δούμε εάν είναι μία γωνία εφεξής;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εφεξής είναι οι γωνίες που έχουν:
      1. κοινή κορυφή
      2. µία πλευρά κοινή
      και δεν έχουν άλλο κοινό σηµείο

      Διαγραφή
  5. πως να μετρηισω μια ορθη γωνια

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Πως σχηματίζονται οι πλήρης γωνίες??

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Η πλήρης γωνία είναι στην πράξη ένας κύκλος... Άρα με μοιρογνωμόνιο...;-)

      Διαγραφή
  7. Θα μπορούσατε να με βοηθήσετε σε μια άσκηση?Μπορεί να είναι απλή μα δεν την καταλαβαίνω...
    Θεωρούμε δύο εφεξής και παραπληρωματικες γωνίες και τις διχοτομους τους.Πόσες μοίρες είναι η κυρτή γωνία που έχει πλευρές τις διχοτομους αυτές?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Είναι όντως απλό και δε χρειάζεται καν σχήμα...
      Λοιπόν, εφεξής και παραπληρωματικές: έστω ότι οι γωνίες είναι η Α και Β. Ισχύει Α+Β=180 μοίρες. Οι διχοτόμοι των δύο γωνιών τις χωρίζουν στη μέση, άρα Α/2 + Β/2 = 90 μοίρες η κυρτή γωνία που σχηματίζεται...

      Διαγραφή
  8. Ίσως το μόνο σαητ ή και μέρος που με κάνει να καταλαβαίνω τα μαθηματικά ����

    ΑπάντησηΔιαγραφή