20 Ιανουαρίου 2012

Διαίρεση ακεραίων

Καθημερινά, είμαστε αναγκασμένοι να μοιραστούμε διάφορα πράγματα, όπως για παράδειγμα το χώρο στο θρανίο, τα μπισκότα που περιέχονται σ' ένα πακέτο, τις σοκολάτες που πήραν οι γονείς μας για εμάς και τ' αδέρφια μας κλπ. Για όλα τα παραπάνω χρησιμοποιούμε τη διαίρεση, η οποία είναι - μιλώντας με μαθηματικούς όρους - η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. 

Βασική προϋπόθεση για να εκτελέσουμε σωστά την πράξη της διαίρεσης είναι να γνωρίζουμε άριστα την προπαίδεια. Έχοντας αυτό υπόψη, ας δούμε παρακάτω πως γίνεται η πράξη αυτή...



Από τη στιγμή που το υπόλοιπο είναι μηδέν, η διαίρεση λέγεται τέλεια


Πρόβλημα: Ένας μανάβης έχει στη διάθεσή του 75 κιλά πορτοκάλια και θέλει να τα μοιράσει σε τρία τελάρα. Πόσα κιλά θα μπουν σε κάθε ένα;
Λύση: Θα διαιρέσουμε τα κιλά με τον αριθμό των τελάρων.

  • Ένα ψηφίο έχει ο διαιρέτης, ένα τονίζουμε αριστερά του διαιρετέου και λέμε : « Το 3 στο 7 χωράει …2 φορές ».
  • Γράφουμε το 2  στη θέση του πηλίκου.  
  • Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το 3 (διαιρέτης). 
  • Γράφουμε το 6 κάτω από το 7.
  • Αφαιρούμε από το 7 το 6 . 
  • Κατεβάζουμε δίπλα στο 1 και το 5 και λέμε : « Το 3 στο 15χωράει … 5 φορές ».
  • Γράφουμε το 5 στη θέση του πηλίκου. 
  • Πολλαπλασιάζουμε το 5 με το 3 και αφαιρούμε το γινόμενο από το 15. 

Ας δούμε τώρα και μια διαίρεση με διψήφιο διαιρέτη. Η λογική είναι ακριβώς η ίδια, το μόνο που αλλάζουν είναι οι αριθμοί και φυσικά το ότι πρέπει να κάνουμε λίγο πιο σύνθετους υπολογισμούς στο μυαλό μας.


  • Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης (δ), δύο τονίζουμε και στα αριστερά του Διαιρετέου (Δ) και λέμε : « Το 52 στο 39 δεν χωράει, άρα τονίζουμε και το τρίτο στη σειρά ψηφίο του Δ και λέμε, πόσο χωράει το 52 στο 395;» Μπορεί να φαίνεται με μια πρώτη ματιά δύσκολο, αλλά κάνουμε ένα μικρό κολπάκι αφαιρώντας τα δύο τελευταία ψηφία από Δ και δ και λέμε: «Πόσο χωράει το 5 στο 39;»
  • Γράφουμε το 7 στη θέση του πηλίκου.  
  • Πολλαπλασιάζουμε το 7 του πηλίκου με τις 2 μονάδες του διαιρέτη: 7 Χ 2 = 14.
  • Κάνουμε απευθείας την αφαίρεση ξεκινώντας από τις μονάδες του 395 και λέμε: «Το 14 από το 5 δεν αφαιρείται, δανειζόμαστε μία δεκάδα και λέμε, 14 από 15 = 1».
  • Γράφουμε το 1 κάτω από το 5 και το κρατάμε τη μία (1) δεκάδα ως κρατούμενο.
  • Πολλαπλασιάζουμε το 7 του πηλίκου  με τις 5 δεκάδες του δ και στο γινόμενο προσθέτουμε το κρατούμενο: 7 Χ 5 = 35 + 1 = 36
  • Αφαιρούμε το 36 από το 39 και γράφουμε το 3 κάτω από τις 9 εκατοντάδες του Δ.
  • Κατεβάζουμε και το τελευταίο ψηφίο του Δ, δηλαδή το 6 και λέμε: «Πόσες φορές χωράει το 52 στο 315;» Κατά τον ίδιο τρόπο σκεφτόμαστε ότι το 5 στο 31 χωράει 6 φορές, οπότε γράφουμε στο πηλίκο δίπλα στο 7 το 6.
  • Πολλαπλασιάζουμε το 6 με τις 2 μονάδες του δ: 6 Χ 2 = 12 και αφαιρούμε από τις 6 μονάδες του Δ. Επειδή πάλι δεν γίνεται, δανειζόμαστε μία δεκάδα και λέμε: «12 από 16 κάνει 4».
  • Γράφουμε το 4 κάτω από το 6 και τη 1 δεκάδα τη γράφουμε ως κρατούμενο.
  • Πολλαπλασιάζουμε το 6 με τις 5 δεκάδες του δ και προσθέτουμε το κρατούμενο: 6Χ5=30+1=31  
  • Αφαιρούμε το 31 από το 31 και γράφουμε το 0 υπό τη μορφή του = κάτω από τις εκατοντάδες του Δ.
  • Η διαίρεση μας τελείωσε. Το αποτέλεσμα είναι: πηλίκο 76 και υπόλοιπο 4.
Διαιρέσεις που το υπόλοιπο δεν είναι 0 λέγονται ατελείς.

Για να κάνουμε τη δοκιμή, πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο (76) με τον διαιρέτη (52) και προσθέτουμε το υπόλοιπο (4).

(76 Χ 52) + 4

Αν μας δώσει τον Διαιρετέο (3956) τότε έχουμε κάνει σωστά τη διαίρεση. Αλλιώς, ελέγχουμε που είναι το λάθος.

ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Αν σε κάποια φάση της διαίρεσης το υπόλοιπο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τον διαιρέτη, αυτό σημαίνει πως ο διαιρέτης χωράει μία ή περισσότερες φορές ακόμη στον Διαιρετέο...

Ο δάσκαλος του Γ2
Μιλτιάδης Ζωγράφος

19 σχόλια:

  1. πολύ ωραία τα εξιγεί. Μπράβο!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. an ine megalos arithmos k exi komma pos ginete ?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Η καλύτερη εξήγηση διαίρεσης ( πιστέψτεμε το έψαξε σε αρκετά sites) ΜΠΡΑΒΟ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Μπράβο πολύ καλή εξήγηση ! με βοήθησε πολύ ο τρόπος που το παρουσιάζετε

    Ευχαριστώ πολύ

    Δημήτρης μαθητής Γ' τάξης ,Περιστέρι Αθήνα

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. τα εξηγεί πολύ ωραία αλλά έχει μία παράληψη στο 1ο βήμα στο σημείο που λέει : αφαιρώντας τα δύο τελευταία ψηφία από Δ και δ και λέμε: «Πόσο χωράει το 5 στο 39. Αν, υποθετικά μιλώντας, μας βγεί το υπόλοιπο αρνητικό τότε αφαιρούμε μία μονάδα και λέμε π.χ. ότι το 5 χωράει μία φορά λιγότερη στο 39 και γράφουμε 1 μονάδα λιγότερη στο πηλίκο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Μπορείτε να μας δείξετε πως θα γίνει η διαίρεση του 5567/13 με το κολπάκι που δείξατε στο παραπάνω παράδειγμα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. den telionei i dieresi ine atelis

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. εγω δυσκολευομαι οταν πρεπει να βαλουμε στο πηλικο μηδεν ποτε βαζουμε το μηδεν θα παιθανω δεν το καταλαβαινω!!! σας παρακαλω καποιος να με βοηθησει!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Φίλε αυτό που λες γίνεται όταν σε κάποιο στάδιο της διαίρεσης έχεις βρει το υπόλοιπο, κατεβάζεις ψηφίο από τον διαιρετέο ( όπως στο 8ο βήμα πιο πάνω ) και ΔΕΝ χωράει ο διαιρέτης στο υπόλοιπο. Στην περίπτωση αυτή βάζεις ένα μηδενικό στο πηλίκο και κατεβάζεις κι άλλο ψηφίο από τον διαιρέτη. Πάλι δεν χωράει ο διαιρέτης στο υπόλοιπο; Ξανά τα ίδια, μηδενικό στο πηλίκο και κατεβάζεις ψηφίο από τον διαιρέτη. Παράδειγμα: Διαίρεση 4200637:75

      4200637|__75
      450 56008
      0637
      37
      Σκέψου λοιπόν ότι μόλις έχω βρει το 6 στο πηλίκο, έχω πολλαπλασιάσει το 6 με το 75 και έχω αφαιρέσει από το 450 βρίσκοντας υπόλοιπο 0. Κατεβάζω λοιπόν και το 6. Το 75 στο 6 ΔΕΝ χωράει. Τώρα κάνω αυτό που λες. Βάζω 0 στο πηλίκο και κατεβάζω και το 3 από τον διαιρέτη. Το 75 στο 63 ΠΑΛΙ δεν χωράει. Βάζω 0 στο πηλίκο και κατεβάζω και το τελευταίο ψηφίο από τον διαιρέτη, το 7. Τελικά το 75 στο 637 χωράει 8 οπότε βρίσκω υπόλοιπο 37 και η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί. Ελπίζω να βοήθησα.

      (Υ.Γ.: Δυστυχώς δεν κατάφερα να στοιχίσω τα νούμερα το ένα κάτω απ' το άλλο όπως πρέπει )

      Διαγραφή
  9. Α! Πόσο σας ευχαριστούμε δάσκαλε! Εμείς οι μαθητές - πολύ - παλαιότερων χρόνων, που τα επαναλάβαμε εξαντλητικά όλα τα βήματα, τόσο που νομίζαμε ότι είναι "κτήμα" μας, έτσι το λέγαμε τότε, αλλά σαρώθηκαν από τα κομπιουτεράκια! Μου ζήτησε ο ανηψιός μου να υπολογίσω κάτι με μολύβι και χαρτί και βρέθηκα μπροστά στο .... κενό!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Να στε καλά... Ειλικρινά, χαίρομαι που μπορώ να φανώ χρήσιμος σε όλες τις ηλικίες...

      Διαγραφή
  10. Καλησπέρα, αν θέλετε τσεκάρετε και μια δωρεάν εφαρμογή για Android που μπορεί να βοηθήσει τα παιδιά στην εξάσξηση της διαίρεσης https://play.google.com/store/apps/dev?id=8858501601288080265

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. καλησπερα,
    εχω μια διαιρεση 762:38.
    βαζω στο πηλικο 2. 2x38=76
    εχω υπολοιπο 0 και κατεβαζω το τριτο ψηφιο που ειναι το 2.
    δεν χωραει το 38 στο 2. θα βαλω κομα ή μηδεν στο πηλικο

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλησπέρα,
      Μα είναι ξεκάθαρο φίλε μου. Θα βάλεις 0... Κόμμα θα βάλεις όταν εξαντληθούν τα ψηφία του διαιρετέου...;-)

      Διαγραφή
  12. καλησπερα και καλη χρονια μπραβο πολυ καλη δουλεια!!;)

    ΑπάντησηΔιαγραφή