Εισαγωγή στα κλάσματα

Οι περισσότεροι μαθητές όταν ακούν για κλάσματα, νομίζουν πως είναι κάτι δυσκολονόητο, κάτι που θα τους δυσκολέψει στην επίλυση ασκήσεων, κάτι που δεν μπορούν να κατανοήσουν. Κι όμως... Είναι ίσως το πιο απλό κομμάτι της ύλης των μαθηματικών του δημοτικού. Αρκεί να δοθεί λίγη προσοχή στην κατανόηση τριών απλών πραγμάτων, που θα δούμε παρακάτω... 

Ανοίγουμε τα μάτια μας λοιπόν, δεν ασχολούμαστε με οτιδήποτε άλλο για τα επόμενα 15 λεπτά και θα δείτε πόσο απλή υπόθεση είναι...

Καταρχήν, να δώσουμε τον ορισμό για να ξέρουμε για τι πράγμα μιλούμε...

Κλάσματα είναι λοιπόν τα ίσα μέρη ενός συνόλου. Τόσο απλά...

Το κλασικό παράδειγμα με την πίτσα μπορεί να μας δώσει μια παραστατική εικόνα του τι είναι κλάσμα.

Έχουμε μια πίτσα (αριστερά) και θέλουμε να τη χωρίσουμε σε τέσσερα (4) παιδιά. Εννοείται πως όλα τα κομμάτια πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους για να αποφύγουμε διαπληκτισμούς (δεξιά)... 

Αφού τη χωρίσαμε δίνουμε σε κάθε παιδί το ένα κομμάτι. 

Λέμε πως το κάθε παιδί πήρε το ένα τέταρτο της πίτσας και το γράφουμε:

                

Τι σημαίνουν όμως αυτοί οι αριθμοί; 

Επομένως, κάθε κλάσμα αποτελείται από τον αριθμητή (πάνω αριθμός) και τον παρονομαστή (κάτω), που χωρίζονται από την κλασματική γραμμή, ενώ και οι δύο μαζί ονομάζονται όροι του κλάσματος.

Εξασκηθείτε παίζοντας ΕΔΩ (Παρατήρησε σε πόσα κομμάτια είναι χωρισμένη η πίτα και γράψτε το κλάσμα. Κατόπιν πατήστε "enter").  

Κι αν σας αρέσουν περισσότερο οι πίτσες, ΕΔΩ

Όταν ο αριθμητής είναι το 1, τα κλάσματα λέγονται κλασματικές μονάδες:

1 1 1 1 2 3 5 8

Παράδειγμα κλασματικής μονάδας είναι οι σημαίες των κρατών, π.χ. της Γαλλίας, που αποτελείται από 3 ίσα κομμάτια, ένα μπλε, ένα λευκό και ένα κόκκινο, καθένα εκ των οποίων είναι το 1/3 της σημαίας. Και τα τρία μαζί αποτελούν ολόκληρη τη σημαία της Γαλλίας.

Όταν αριθμητής και παρονομαστής είναι ίσοι, τότε λέμε ότι το κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα (1):

4	=	1
4

Δυο κλάσματα που έχουν ίδιους παρονομαστές λέγονται ομώνυμα

3 , 2 5 5

ενώ όταν έχουν διαφορετικούς λέγονται ετερώνυμα

5 , 3 6 4

Iσοδύναμα είναι τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο ποσό ενός συνόλου, εκφρασμένο όμως με διαφορετικούς αριθμούς, π.χ.

Αν πολλαπλασιάσουμε «χιαστί» τους όρους δύο ισοδύναμων κλασμάτων, τα δύο γινόμενα που προκύπτουν είναι ίσα μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό ελέγχουμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα. 

Πώς προκύπτουν ισοδύναμα κλάσματα;

Ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν με δύο τρόπους:

Α. Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο αριθμό

4	=	8
7		14

(και οι 2 όροι πολλαπλασιάζονται με το 2)

Β. Αν διαιρέσουμε (εφόσον γίνεται) και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο αριθμό

6	=	3
8		4

(και οι 2 όροι διαιρούνται με το 2)

Σ' αυτή την περίπτωση η διαδικασία λέγεται απλοποίηση...

Εξασκηθείτε παίζοντας ΕΔΩ