Επίλυση προβλημάτων

Τα προβλήματα αποτελούν μια σημαντική κατηγορία ασκήσεων στα Μαθηματικά και η επίλυσή τους απαιτεί – εκτός της άριστης γνώσης της Θεωρίας – την καλή κατανόηση τους και την ανάλυση των δεδομένων τους.

         

Ένα πρόβλημα δεν είναι τίποτε άλλο από την παράθεση συγκεκριμένων γεγονότων – δεδομένων και την αναζήτηση μέσα από την ανάλυση αυτών μιας σειράς ζητούμενων με σκοπό να αποδειχθεί η γνώση της Θεωρίας...

Προβλήματα συναντούμε σε καθημερινή βάση σε όλους τους τομείς της ζωής μας και η αντιμετώπιση τους δεν διαφέρει σε τίποτε από αυτή των προβλημάτων των Μαθηματικών.

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να πάμε ένα ταξίδι στη Μονεμβασιά. Ας δούμε τις σκέψεις και τις ενέργειες που θα κάνουμε.

1. Ξεκινώντας από τη Θεσσαλονίκη παίρνουμε τον χάρτη και βλέπουμε πως η Μονεμβασιά βρίσκεται στο Νότιο – Ανατολικό άκρο της Πελοποννήσου. Άρα η πρώτη μας σκέψη είναι πως θα πρέπει να ακολουθήσουμε την έξοδο που οδηγεί προς την Αθήνα και όχι αυτήν προς την Καβάλα ή τους Ευζώνους.

2. Αφού βγούμε λοιπόν στην εθνική οδό θα ακολουθούμε αρχικά τις πινακίδες που έχουν κατεύθυνση προς την Αθήνα, αφού έχουμε δει στον χάρτη πως βρίσκεται στην ίδια κατεύθυνση με τον απώτερο προορισμό μας. Φτάνοντας στο ύψος της Λαμίας, συναντούμε μια πινακίδα που δείχνει δεξιά για Πάτρα και ευθεία για Αθήνα.

3. Σε αυτή την περίπτωση βρισκόμαστε σε δίλημμα. Βλέπουμε στον χάρτη πως υπάρχουν δύο δρόμοι προς την Πελοπόννησο. Ο ένας παρακάμπτει την Αθήνα και περνάει μέσα από βουνά, ενώ ο άλλος είναι περισσότερο ευθύς, κάνει κύκλο και οδηγεί στην Κόρινθο. Η επιλογή μας εξαρτάται από τον τελικό μας προορισμό. Η Μονεμβασιά είναι στο Ανατολικό άκρο της Πελοποννήσου, όπου βρίσκεται και η Κόρινθος, ενώ η Πάτρα είναι πιο δυτικά. Άρα συνεχίζουμε προς την Αθήνα.

4. Αφού φτάσουμε στην Αθήνα ακολουθούμε τις πινακίδες προς την Κόρινθο και όχι προς οποιαδήποτε άλλη κατεύθυνση. Με τον ίδιο τρόπο φτάνοντας στην Κόρινθο παίρνουμε τη διαδρομή προς την Τρίπολη και όχι προς την Πάτρα ή το Αίγιο, αφού θέλουμε να κατέβουμε νοτιότερα.

5. Με ανάλογο τρόπο φτάνοντας στην Τρίπολη παίρνουμε το δρόμο προς την Σπάρτη και από εκεί προς Μονεμβασιά.

Με λίγα λόγια δηλαδή, για να φτάσουμε από την αφετηρία μας στον τελικό προορισμό κάναμε μια σειρά από λογικές σκέψεις που είχαν σαν αποτέλεσμα να αποκλείσουμε κάποιες επιλογές και να ακολουθήσουμε κάποιες άλλες. Το ίδιο ακριβώς κάνουμε και στην περίπτωση ενός Μαθηματικού προβλήματος :

Ένας ξυλουργός για να επισκευάσει τα κάγκελα του μπαλκονιού, χρησιμοποίησε 12 καδρόνια που το καθένα είχε μήκος 1,6 μ. Για να τα τοποθετήσει όμως ομοιόμορφα χρειάστηκε να κόψει από το καθένα 0,35 μ. Πόσα μέτρα χρησιμοποίησε συνολικά για να επισκευάσει τα κάγκελα; Αν πλήρωσε 192 € για να αγοράσει όλα τα καδρόνια, πόσο κόστισε το ένα μέτρο και πόσα χρήματα κόστισαν τα καδρόνια που πέταξε;

Η πρώτη μας κίνηση είναι να «ανοίξουμε τον χάρτη» και να «σχεδιάσουμε» το «ταξίδι» μας. Καταγράφουμε λοιπόν τα δεδομένα και τα ζητούμενα σε έναν πίνακα κατακόρυφα, προκειμένου να έχουμε μια εποπτική εικόνα του προβλήματος και να οργανώσουμε τις σκέψεις μας ξέροντας γιατί κάνουμε την κάθε κίνηση :

ΔΕΔΟΜΕΝΑ                                                                      ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

12 καδρόνια                                                                      Α.       x ; μέτρα τα κάγκελα που επισκεύασε

1,6 μ το καθένα                                                                 Β.       x ; κοστίζει το μέτρο από τα καδρόνια

0,35 μ έκοψε απ’ το καθένα                                               Γ.       x ; χρήματα πέταξε

192 € πλήρωσε για όλα τα μέτρα

Κατόπιν, αναλύουμε τα δεδομένα μας χωρίς να κοιτάμε προς το παρόν τα ζητούμενα :

Γνωρίζουμε πως αγόρασε 12 καδρόνια των 1,6 μέτρων το καθένα. Αφού λοιπόν ξέρουμε πόσα μέτρα ήταν το ένα καδρόνι και τον αριθμό των καδρονιών μπορούμε να βρούμε τα συνολικά μέτρα που είχαν τα καδρόνια κάνοντας πολλαπλασιασμό :

12 x 1,6 = 19,2 μ. ήταν όλα τα καδρόνια (συμπέρασμα 1)

Μετά βλέπουμε πως έκοψε 0,35 μέτρα από το κάθε καδρόνι. Είχαμε 12 καδρόνια, άρα με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε πόσα συνολικά μέτρα πέταξε :

12 x 0,35 = 4,2 μ. πέταξε (συμπέρασμα 2)

Τώρα βλέπουμε τα ζητούμενα. Από τα παραπάνω δύο συμπεράσματα, στα οποία καταλήξαμε από την ανάλυση των δεδομένων και μόνο, μπορούμε να απαντήσουμε στο πρώτο ζητούμενο.

Α. Αφού όλα τα καδρόνια που αγόρασε ήταν 19,2 μ. και πέταξε 4,2 μ., αφαιρώντας τα μέτρα που πέταξε από αυτά που αγόρασε θα βρούμε πόσα ήταν τα μέτρα χρησιμοποίησε :

19,2 – 4,2 = 15 μ. χρησιμοποίησε

Β. Στη συνέχεια, ξέρουμε πως κόστισαν 192 € όλα τα καδρόνια, οπότε με βάση και το συμπέρασμα 1 μπορούμε να βρούμε πόσο κόστισε το ένα μέτρο κάνοντας διαίρεση (γνωρίζουμε την τιμή των πολλών και ξέρουμε τον αριθμό των μέτρων). Έτσι, απαντούμε στο δεύτερο ζητούμενο :

192 : 19,2 = 10 € το μέτρο

Γ. Τέλος, αφού βρήκαμε πόσο κόστισε το μέτρο και με βάση το συμπέρασμα 2 κάνουμε πολλαπλασιασμό και βρίσκουμε πόσο κόστισαν τα καδρόνια που πέταξε :

10 x 4,2 = 42 € πήγαν χαμένα.

Συνοπτικά δηλαδή, όταν έχουμε ένα πρόβλημα ακολουθούμε κάποιους απλούς κανόνες:


√  Διαβάζουμε προσεκτικά και χωρίς να βιαζόμαστε το πρόβλημα και προσπαθούμε να κατανοήσουμε τι λέει. 

√     Καταγράφουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Με άλλα λόγια δηλαδή, χωρίζουμε τα γνωστά από τα άγνωστα. 

√ Προσέχουμε πολύ τους αριθμούς του προβλήματος και τι αντιπροσωπεύει ο καθένας 

√   Βρίσκουμε αν υπάρχει κάποια λέξη "κλειδί" που να με βοηθήσει να καταλάβω τι πράξη θα κάνω 

√ Προχωρούμε βήμα βήμα (πορεία με πράξεις) χωρίζοντας το πρόβλημα σε μικρότερα έως ότου φτάσω στη λύση του 

√    Απαντούμε στα ερωτήματα 

√  Πολλές φορές, ένα πρόβλημα λύνεται από την απλή ανάλυση των δεδομένων, οπότε είναι πολύ σημαντικό να καταγράψουμε πολύ προσεκτικά και αναλυτικά τα δεδομένα, ώστε με απλές λογικές παρατηρήσεις να εξάγω συμπεράσματα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

1. Η κ. Ελένη αγόρασε 3 και 3/4 κιλά τυρί πληρώνοντας 15 ευρώ. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό τυρί;

2. Σε ένα οινοποιείο έβαλαν 5.000 κιλά κρασί σε μεγάλες φιάλες των 2 και 1/2 κιλών. Πόσες φιάλες χρησιμοποιήθηκαν;

3. Η αυλή του σχολείου έχει μήκος 84 και 4/5 μ. και πλάτος 52 και 1/2 μ. Πόσα τετραγωνικά μέτρα ταρτάν θα χρειαστούν για να στρωθεί. Αν το ταρτάν κοστίζει 3,6 ευρώ το τετραγωνικό μέτρο, πόσο θα κοστίσει;

Ο Δάσκαλος του Ε2

Μιλτιάδης Ζωγράφος