Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο

Κοινό πολλαπλάσιο (Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος, πλην του μηδενός, που είναι πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών. Δείτε στον παρακάτω πίνακα κάποια από τα πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3, και 6.

Όπως βλέπουμε υπάρχουν κοινά πολλαπλάσια και στους 3 αριθμούς (6, 12, 18, 24). Και θα βρίσκαμε κι άλλα αν συνεχίζαμε, αφού τα πολλαπλάσια είναι άπειρα.

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και στο παραπάνω παράδειγμα είναι το 6. 

Έτσι γράφουμε: Ε.Κ.Π. (2,3,6) = 6

Μεθοδολογία εύρεσης

Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο η περισσοτέρων αριθμών.

1ος τρόπος: Είναι αυτός που είδαμε στον παραπάνω πίνακα, δηλαδή να γράψουμε όλα τα πολλαπλάσια των αριθμών, στη συνέχεια να ξεχωρίσουμε τα κοινά πολλαπλάσια τους και στο τέλος να μαρκάρουμε το Ε.Κ.Π αυτών.

2ος τρόπος: Εξετάζουμε τον μεγαλύτερο από αυτούς και βλέπουμε αν αποτελεί το Ε.Κ.Π τους, αν δηλαδή διαιρείται ακριβώς από τους άλλους δύο. Αν συμβαίνει κάτι τέτοιο, τότε αυτός αποτελεί και το Ε.Κ.Π. των προς εξέταση αριθμών.

Στην περίπτωση που δεν διαιρείται και από τους δύο, τότε τον διπλασιάζουμε, τον τριπλασιάζουμε κ.ο.κ. έως ότου βρούμε κάποιο πολλαπλάσιό του που θα διαιρείται από τους άλλους δύο και θα αποτελεί το Ε.Κ.Π. αυτών.

Παράδειγμα

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π (3, 6, 8).

Επειδή ο μεγαλύτερος από αυτούς, ο 8 δηλαδή, δεν διαιρείται από τους άλλους δύο, τον διπλασιάζουμε (16). Διαπιστώνουμε ότι και πάλι δεν διαιρείται από το 3 και το 6. Στη συνέχεια, τον τριπλασιάζουμε (24) και βλέπουμε ότι αυτός διαιρείται και από το 3 (24:3=8) και από το 6 (24:6=4)

Άρα το Ε.Κ.Π. (3, 6, 8) = 24

3ος τρόπος: Σε περίπτωση που ο μεγαλύτερος δεν αποτελεί το ΕΚΠ, πολλαπλασιάζουμε τους προς εξέταση αριθμούς. Το γινόμενο που βρίσκουμε το διαιρούμε αρχικά με το 2, βλέπουμε αν το πηλίκο διαιρείται ακριβώς με όλους, στη συνέχεια με το 3 κ.ο.κ. μέχρι να φτάσουμε σε αποτέλεσμα που να είναι ίσο ή μικρότερο το διπλάσιο του μεγαλύτερου από αυτούς. Το μικρότερο από τα πηλίκα που εξετάσαμε αποτελεί και το Ε.Κ.Π.

Παράδειγμα

Θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π (2, 3, 8). Καταρχήν διαπιστώνουμε πως το 8 δεν διαιρείται με τους άλλους δύο, οπότε δεν μπορεί να είναι το ΕΚΠ.

Πολλαπλασιάζουμε τους τρεις αριθμούς: 2Χ3Χ8=48

Διαιρούμε το 48 με το 2 και βλέπουμε αν το πηλίκο διαιρείται με τους τρεις αριθμούς (48:2=24). Το 24 διαιρείται και με το 2 και με το 3 και με το 8.

Στη συνέχεια διαιρούμε το 48 με το 3. 48:3=16 Το 16 δεν διαιρείται με το 3.

Κατόπιν διαιρούμε το 48 με το 4. 48:4=12. Το 12 δεν διαιρείται με το 8.

Δεν προχωρούμε περισσότερο, αφού το 12 είναι μικρότερο από το διπλάσιο του μεγαλύτερου εκ των τριών (8). Επομένως, το ΕΚΠ (2, 3, 8)=24

4ος τρόπος: Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Ο τρόπος αυτός θα διδαχθεί σε επόμενα μαθήματα, εντούτοις αναφέρεται απλά εγκυκλοπαιδικά εδώ.

Έστω ότι ψάχνουμε να βρούμε το ΕΚΠ (3, 6, 10).

Αναλύουμε τους τρεις αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

3	6	10	2
3	3	5	3
1	1	5	5
1	1	1

Άρα Ε. Κ. Π. (3, 6, 10) = 2Χ3Χ5 = 30

Για εξάσκηση κάνετε ΚΛΙΚ ΕΔΩ

Ο δάσκαλος του Ε2

Μιλτιάδης Ζωγράφος