Απλοποίηση κλασμάτων

Πολλές φορές στις αριθμητικές παραστάσεις και στις εξισώσεις, μπορούμε να αποφύγουμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με μεγάλους αριθμούς χρησιμοποιώντας ιδιότητες των ισοδύναμων κλασμάτων.

Απλοποίηση είναι μια διαδικασία με την οποία δημιουργείται ένα ισοδύναμο κλάσμα με μικρότερους όρους. Για να το πετύχουμε αυτό διαιρούμε και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) με τον ίδιο αριθμό. Όταν φτάσουμε στο σημείο που ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, δεν υπάρχει δηλαδή αριθμός που να διαιρεί ακριβώς και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα λέγεται ανάγωγο.

Ας πάρουμε από την αρχή τα πράγματα και από τα πολύ απλά θα φτάσουμε στα πιο σύνθετα...

Καταρχήν θα πρέπει να πούμε πως υπάρχουν δύο τρόποι να κάνουμε την απλοποίηση.

1. ∆ιαιρούµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος µε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (ΜΚ∆) τους. Αν διαιρέσουµε απλά µε έναν κοινό τους διαιρέτη, πρέπει να κάνουµε πάλι την ίδια διαδικασία, µέχρι να καταλήξουµε σε ανάγωγο κλάσµα.

Έχουμε για παράδειγμα το κλάσμα

÷ 3 ÷ 6   18 = 6 = 1 36 12 2       ÷ 3 ÷ 6

Βλέπουμε ότι αρχικά διαιρούμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3 και προκύπτει ένα νέο κλάσμα, το οποίο μπορούμε να απλοποιήσουμε ακόμη περισσότερο, διαιρώντας και τους δύο όρους του με το 6. Καταλήγουμε λοιπόν στο κλάσμα 1/2 το οποίο δεν απλοποιείται περαιτέρω, είναι δηλαδή ανάγωγο.

Θα μπορούσαμε βέβαια, να έχουμε διαιρέσει εξ αρχής το 18 και το 36 με το 18, εντούτοις όταν εμπλέκονται μεγάλοι αριθμοί καλό είναι να πάμε βήμα βήμα, προκειμένου να αποφύγουμε ενδεχόμενα λάθη.

Παρακάτω, βλέπουμε ένα άλλο παράδειγμα

 

2. Αναλύουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος σε γινόµενο πρώτων παραγόντων και διαγράφουµε τους ίδιους όρους από τον αριθµητή και τον παρονοµαστή. Αν αναλύσουµε απλά σε γινόµενα, πρέπει να κάνουµε πάλι την ίδια διαδικασία, µέχρι να καταλήξουµε σε ανάγωγο κλάσµα.

Στα πιο πάνω παραδείγματα θα έχουμε:

18     2 x 3 x 3               1

--- = ----------------- = ------

36     2 x 2 x 3 x 3         2

30     2 x 3 x 5      5

--- = ----------- = -----

42     2 x 3 x 7      7

ΠΡΟΣΟΧΗ: Σε οποιαδήποτε άσκηση εµφανίζεται ένα μη ανάγωγο κλάσµα, κάνουµε απλοποίηση, ανεξαρτήτως αν µας το ζητούν.