Εξισώσεις

Οι εξισώσεις, όπως το λέει και το όνομά τους, είναι ισότητες, δηλαδή μαθηματικές παραστάσεις των οποίων τα δύο μέρη τους είναι ίσα. Όταν λοιπόν βλέπουμε την μαθηματική παράσταση  Χ = 2, σημαίνει ότι το Χ παίρνει την τιμή 2. Ανάλογα στην παράσταση Χ+1=2, πρέπει το Χ να πάρει τέτοια τιμή ώστε όταν σ’αυτό προσθέσουμε το 1 να μας δώσει 2. Στην παράσταση Χ·3=6, πρέπει το Χ να πάρει τέτοια τιμή ώστε όταν το πολλαπλασιάσουμε με το 3 να μας δώσει 6. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι τα 2 μέρη στο τέλος πρέπει να βγαίνουν ίσα. Αυτό άλλωστε φανερώνει και το σύμβολο ( = ) ανάμεσα στα 2 μέρη της ισότητας. Και πάνω σ’ αυτή την ιδιότητα θα στηριχθούμε για να λύσουμε τις διάφορες εξισώσεις. Ας δούμε πώς...

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Για να λύσουμε τις διάφορες εξισώσεις ακολουθούμε ορισμένους κανόνες, οι οποίοι μας βοηθούν να αποφύγουμε τυχόν λάθη και κάνουν και την πιο δύσκολη εξίσωση να φαίνεται απλό παιχνιδάκι.

1.       Την ισότητα ακολουθεί πάντα το σύμβολο (=> ) ή ( <=> ).

2.       Μετά το προηγούμενο σύμβολο γράφουμε την συνέχεια της λύσης ακριβώς κάτω από την αρχική ισότητα.

3.     Εάν υπάρχουν στα δύο μέρη κάποιες πράξεις (προσθέσεις, αφαιρέσεις κλπ), τις κάνουμε ακολουθώντας ΠΑΝΤΑ την εξής σειρά :

α) πράξεις μέσα σε παρενθέσεις,

β) δυνάμεις,   

γ) πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις,

δ) προσθέσεις και αφαιρέσεις.

ΠΟΤΕ δεν παραβιάζουμε την παραπάνω σειρά γιατί το αποτέλεσμα θα είναι ΛΑΘΟΣ. Εννοείται ότι εάν δεν υπάρχουν για παράδειγμα παρενθέσεις ή δυνάμεις θα προχωρούμε στην εκτέλεση της επόμενης πράξης, πάντοτε σύμφωνα με την παραπάνω σειρά.

4.     Πρώτη μας δουλειά αφού ξεμπερδέψουμε με τις πράξεις είναι να ξεχωρίσουμε τους γνωστούς όρους της εξίσωσης, (αριθμούς), από τους αγνώστους (Χ ή οποισδήποτε άλλος άγνωστος). Στη μία πλευρά λοιπόν της ισότητας πριν ή μετά το ( = ) θα τοποθετήσουμε τους αριθμούς και στην άλλη όλους τους όρους που περιέχουν τον άγνωστο Χ. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να μεταφερθούν κάποιοι αριθμοί και κάποιοι άγνωστοι από την μία ή την άλλη πλευρά. Η μεταφορά αυτή έχει κάποιο κόστος και πρέπει να πληρωθεί.

Έτσι λοιπόν, κάθε όρος που μεταφέρεται από την μία στην άλλη πλευρά του ( = ) αλλάζει το πρόσημο του ( + ) ή ( - ), όταν έχουμε πρόσθεση ή αφαίρεση στην ισότητα, ενώ αλλάζει η πράξη όταν έχουμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση. Δηλαδή εφόσον υπάρχουν μόνο προσθέσεις και αφαιρέσεις στην εξίσωση, ένας αριθμός ο οποίος έχει πρόσημο (+), όταν αλλάξει πλευρά στην ισότητα θα αποκτήσει πρόσημο (–) και αντίστροφα αυτός που έχει (–) θα πάρει πρόσημο (+). Πρέπει να σημειωθεί πως όταν ένας αριθμός δεν έχει μπροστά του (+) ή (-) θεωρείται ότι έχει το πρόσημο (+). Εάν τώρα στην εξίσωση υπάρχουν πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, ο όρος  μεταφέρεται αλλάζοντας από πολλαπλασιασμό σε διαίρεση και αντίστροφα από διαίρεση σε πολλαπλασιασμό.

5.      Όταν κάνουμε μεταφορά όρων από τη μία πλευρά του (=) στην άλλη γράφουμε πρώτα τους όρους τους οποίους δεν πειράζουμε, δηλαδή δεν μεταφέρουμε και στη συνέχεια τους μεταφερόμενους όρους, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως.

6.       Τελευταίο βήμα είναι να λύσουμε ως προς τον άγνωστο Χ.

Ας δούμε τώρα δύο παραδείγματα για να κατανοήσουμε όλα αυτά που είπαμε.

(1)                                                                3Χ + 2 = 8 =>

ξεχωρίζουμε γνωστούς-αγνώστους                                   3Χ = 8 – 2 =>

κάνουμε τις πράξεις                                                              3Χ = 6 =>

Λύνουμε ως προς Χ αλλάζοντας την πράξη                         Χ = 6/3 =>

Βρίσκουμε το Χ                                                                        Χ = 2

(2)                         2Χ·42 + ( 3Χ · 23 + 6 - 12Χ – 2 ) = 43 – 4Χ + 4·32=>

πράξεις στην παρένθεση               2Χ · 42 + ( 24Χ – 12Χ + 6 – 2 ) = 43 – 4Χ + 4 · 32=>

πράξεις στην παρένθεση               2Χ · 42 + 12Χ + 4 = 43 – 4Χ + 4 · 32  =>

δυνάμεις                                         2Χ · 16 + 12Χ + 4 = 64 – 4Χ + 4 · 9  =>

πολλαπ/σμοί & διαιρέσεις             32Χ + 12Χ + 4 = 64 – 4Χ + 36 =>

προσθέσεις και αφαιρέσεις            44Χ + 4 = 100 – 4Χ =>

χωρίζω γνωστούς-αγνώστους      44Χ + 4Χ = 100 – 4 =>                 

αλλάζοντας πρόσημα

κάνω πράξεις                                 48Χ = 96 =>

λύνω προς Χ αλλάζοντας

την πράξη                                       Χ = 96/48  =>

                                                        Χ = 2

Μιλτιάδης Ζωγράφος