Απλοποίηση κλασμάτων

Πολλές φορές στις αριθμητικές παραστάσεις και στις εξισώσεις, μπορούμε να αποφύγουμε πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις με μεγάλους αριθμούς χρησιμοποιώντας ιδιότητες των ισοδύναμων κλασμάτων.

Απλοποίηση είναι μια διαδικασία με την οποία δημιουργείται ένα ισοδύναμο κλάσμα με μικρότερους όρους. Για να το πετύχουμε αυτό διαιρούμε και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) με τον ίδιο αριθμό. Όταν φτάσουμε στο σημείο που ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, δεν υπάρχει δηλαδή αριθμός που να διαιρεί ακριβώς και τον αριθμητή και τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα λέγεται ανάγωγο.

Ας πάρουμε από την αρχή τα πράγματα και από τα πολύ απλά θα φτάσουμε στα πιο σύνθετα...

Εξισώσεις

Οι εξισώσεις, όπως το λέει και το όνομά τους, είναι ισότητες, δηλαδή μαθηματικές παραστάσεις των οποίων τα δύο μέρη τους είναι ίσα. Όταν λοιπόν βλέπουμε την μαθηματική παράσταση  Χ = 2, σημαίνει ότι το Χ παίρνει την τιμή 2. Ανάλογα στην παράσταση Χ+1=2, πρέπει το Χ να πάρει τέτοια τιμή ώστε όταν σ’αυτό προσθέσουμε το 1 να μας δώσει 2. Στην παράσταση Χ·3=6, πρέπει το Χ να πάρει τέτοια τιμή ώστε όταν το πολλαπλασιάσουμε με το 3 να μας δώσει 6. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις παρατηρούμε ότι τα 2 μέρη στο τέλος πρέπει να βγαίνουν ίσα. Αυτό άλλωστε φανερώνει και το σύμβολο ( = ) ανάμεσα στα 2 μέρη της ισότητας. Και πάνω σ’ αυτή την ιδιότητα θα στηριχθούμε για να λύσουμε τις διάφορες εξισώσεις. Ας δούμε πώς...

Ο Κύκλος

Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, είναι το επίπεδο γεωμετρικό σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το Κ απόσταση ρ. Τον συμβολίζουμε ως C (Ο,ρ).

Εναλλακτικά, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Το Τρίγωνο

Τρίγωνο είναι το πολύγωνο που - όπως λέει και το όνομά του - έχει τρεις γωνίες αλλά και τρεις πλευρές. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, και ΓΑ  με την επιφάνεια που περικλείουν αποτελούν το τρίγωνο ΑΒΓ.

Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

1. Πλευρές: ΑΒ, ΒΓ, και ΓΑ

2. Γωνίες: Α, Β, και Γ

Γωνίες, είδη γωνιών και μέτρηση

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Το σημείο Ο λέγεται κορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ λέγονται πλευρές της γωνίας. Υιοθετώντας δεξιόστροφο προσανατολισμό, το γραμμοσκιασμένο υποσύνολο του επιπέδου λέγεται εσωτερικό και το μη γραμμοσκιασμένο, εξωτερικό της γωνίας.

Η γωνία ονομάζεται με τρία κεφαλαία γράμματα, όπου το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση (ΑΟΒ ή ΒΟΑ), βάζοντας από πάνω του το σύμβολο της γωνίας (^) ή μόνο με το γράμμα της κορυφής (Ο) με από πάνω το σύμβολο της γωνίας ή με ένα μικρό γράμμα (α) και πάντα το σύμβολο της γωνίας από πάνω του...

Πρόσθεση και αφαίρεση ετερωνύμων κλασμάτων

Όπως είναι γνωστό, ο παρονομαστής σε ένα κλάσμα φανερώνει τον αριθμό των ίσων μερών που έχει χωριστεί ένα σύνολο. Επομένως, όταν έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, δεν είμαστε σε θέση να κάνουμε την οποιαδήποτε σύγκριση μεταξύ τους, αφού μιλούμε για δύο τελείως διαφορετικά μεγέθη.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο

Κοινό πολλαπλάσιο (Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αριθμών λέγεται κάθε ακέραιος, πλην του μηδενός, που είναι πολλαπλάσιο όλων αυτών των αριθμών. Δείτε στον παρακάτω πίνακα κάποια από τα πολλαπλάσια των αριθμών 2, 3, και 6.

Κριτήρια διαιρετότητας

Είναι αλήθεια ότι η πιο επίπονη – και πιο επιρρεπής σε λάθη – πράξη από τις τέσσερις, είναι η διαίρεση. Προκειμένου λοιπόν να διευκολυνθούμε και να αποφύγουμε κάποια βασικά σφάλματα ακολουθούμε ορισμένους κανόνες που μας βοηθούν να διακρίνουμε εύκολα και γρήγορα αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται ακριβώς από έναν άλλο. Οι κανόνες αυτοί ονομάζονται κριτήρια διαιρετότητας.

Ας δούμε ποια είναι λοιπόν...

Επίλυση προβλημάτων

Τα προβλήματα αποτελούν μια σημαντική κατηγορία ασκήσεων στα Μαθηματικά και η επίλυσή τους απαιτεί – εκτός της άριστης γνώσης της Θεωρίας – την καλή κατανόηση τους και την ανάλυση των δεδομένων τους.

         

Ένα πρόβλημα δεν είναι τίποτε άλλο από την παράθεση συγκεκριμένων γεγονότων – δεδομένων και την αναζήτηση μέσα από την ανάλυση αυτών μιας σειράς ζητούμενων με σκοπό να αποδειχθεί η γνώση της Θεωρίας...

Μονάδες μέτρησης της επιφάνειας και ιστορικά στοιχεία

Πριν προχωρήσουμε στις μονάδες μέτρησης των επιφανειών, είναι σκόπιμο να κάνουμε μια ιστορική αναδρομή στο πώς δημιουργήθηκαν όλες οι μονάδες μέτρησης και στη συνέχεια θα τις εξετάσουμε διεξοδικά.

Η επιθυμία λοιπόν πολλών Ευρωπαίων επιστημόνων για την δημιουργία ενός νέου ενιαίου και πιο ομοιόμορφου μετρητικού συστήματος βρήκε διέξοδο κατά την διάρκεια της Γαλλικής Επανάστασης. Ο ίδιος ο βασιλιάς Λουδοβίκος ο 16ος (φωτό αριστερά) πρότεινε την δημιουργία ενός δεκαδικού μετρητικού συστήματος.

Μονάδες μέτρησης του μήκους

Μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο (μ) ή (m).


Υποδιαιρέσεις του μέτρου δηλαδή μικρότερες μονάδες είναι:

το δεκατόμετρο ή παλάμη (δεκ.) ή (dm),

το εκατοστόμετρο ή εκατοστό (εκ.) ή (cm)

το χιλιοστόμετρο ή χιλιοστό (χιλ.) ή (mm)

Μεγαλύτερη μονάδα μέτρησης είναι το χιλιόμετρο (χμ) ή (km), το οποίο ισούται με 1000 μέτρα, δηλαδή 1 km = 1000 m. Για να δούμε όμως τις μετατροπές του...

Ασκήσεις για τα κλάσματα...

1) Υπολόγισε γρήγορα :

123,34 Χ 100 = …………
45,7 Χ 10 = …………
0,67 Χ 100 = …………
0,054 Χ 1000 = ………...

98,3 : 10 = …………..
456,89 : 100 = …………..
4 : 1000 = …………..
26 : 100 = …………..

2) Βρες :

Το 1/10 του 120
…………………

Τα 6/10 του 150
………………...

Τα 2/10 του 320
………………...

Τα 6/9 του 810
………………...

Τα 4/6 του 480
…………………

3) Κάνετε ομώνυμα τα παρακάτω κλάσματα:

4/6 και 3/7

3/8 και 2/5

3/4 και 4/5

2/9 και 6/7

5/7 και 3/8

9/12 και 4/9

 4) Λύσε τα προβλήματα:

α. Η Ηλιάνα ξόδεψε στις γιορτές τα 2/6 των 300 € που μάζεψε από τα κάλαντα. Πόσα χρήματα ξόδεψε και πόσα της περίσσεψαν ;
.....................................................................................................

β. Από τα 48 παιδιά του λεωφορείου που τα μεταφέρει στο σχολείο τα 6/8 είναι αγόρια και τα υπόλοιπα κορίτσια. Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια;

......................................................................................................

1. Η μαμά της Βενετίας για να φτιάξει κέικ με κακάο χρησιμοποιεί τα 4/10 ενός κουτιού κακάο, ενώ η μαμά της Νεφέλης τα 12/15 ενός ίδιου κουτιού. Ποιο από τα δύο κέικ έχει περισσότερο κακάο;

................................................................................................................

2. Από το κλάσμα 4/5 να δημιουργήσεις τρία ισοδύναμα κλάσματα με παρονομαστές 10, 20, και 35 αντίστοιχα.

................................................................................................................

3. Από το κλάσμα 24/60 να δημιουργήσεις τρία ισοδύναμα κλάσματα με αριθμητές 12, 6 και 2 αντίστοιχα

.................................................................................................................

4. Να βρεις πόσο είναι:

3/4 του 12, 2/3 του 15, 5/6 του 60 και 1/5 του 100

Κλάσματα, μέρος της ζωής μας...

Κλάσμα είναι ο χωρισμός ενός συνόλου σε ίσα μέρη και η λήψη ορισμένων εξ αυτών. 

Το κλασικό παράδειγμα με την πίτσα μπορεί να μας δώσει μια παραστατική εικόνα του τι είναι κλάσμα.

Έχουμε μια πίτσα (αριστερά) και θέλουμε να τη χωρίσουμε σε τέσσερα (4) παιδιά. Εννοείται πως όλα τα κομμάτια πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους για να αποφύγουμε διαπληκτισμούς (δεξιά)... 

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών

Συνεχίζουμε σήμερα την επανάληψη στα Μαθηματικά, έχοντας τα βασικά σημεία της θεωρίας μαζεμένα σε μία σελίδα και αξιοποιώντας την ευκαιρία των εκλογών με χαλαρή εξάσκηση. Διαβάστε λοιπόν παρακάτω, παίξτε με τα link που δίνονται και στο τέλος κάντε –οπωσδήποτε– τις ασκήσεις...

Δεκαδικοί αριθμοί - Στρογγυλοποίηση

Ευκαιρία να θυμηθούμε τη θεωρία, συγκεντρωμένη επιγραμματικά και στο τέλος να εξασκηθούμε λίγο μετατρέποντας το τετραήμερο λόγω των εκλογών σε ευκαιρία αναπλήρωσης των όποιων κενών έχουμε... Διαβάστε λοιπόν παρακάτω και στο τέλος, δείτε το βιντεάκι και κάντε εξάσκηση στο σύνδεσμο που υπάρχει μέσα...