Κλάσματα, μέρος της ζωής μας...

Κλάσμα είναι ο χωρισμός ενός συνόλου σε ίσα μέρη και η λήψη ορισμένων εξ αυτών. 

Το κλασικό παράδειγμα με την πίτσα μπορεί να μας δώσει μια παραστατική εικόνα του τι είναι κλάσμα.

Έχουμε μια πίτσα (αριστερά) και θέλουμε να τη χωρίσουμε σε τέσσερα (4) παιδιά. Εννοείται πως όλα τα κομμάτια πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους για να αποφύγουμε διαπληκτισμούς (δεξιά)... 

Αφού τη χωρίσαμε δίνουμε σε κάθε παιδί το ένα κομμάτι. 

Λέμε πως το κάθε παιδί πήρε το ένα τέταρτο της πίτσας και το γράφουμε:

                

Τι σημαίνουν όμως αυτοί οι αριθμοί; 

Επομένως, κάθε κλάσμα αποτελείται από τον αριθμητή (πάνω αριθμός) και τον παρονομαστή (κάτω), που χωρίζονται από την κλασματική γραμμή, ενώ και οι δύο μαζί ονομάζονται όροι του κλάσματος.

Εξασκηθείτε παίζοντας ΕΔΩ (Παρατήρησε σε πόσα κομμάτια είναι χωρισμένη η πίτα και γράψτε το κλάσμα. Κατόπιν πατήστε "enter").  

Κι αν σας αρέσουν περισσότερο οι πίτσες, ΕΔΩ

Όταν ο αριθμητής είναι το 1, τα κλάσματα λέγονται κλασματικές μονάδες:

1 1 1 1 2 3 5 8

Παράδειγμα κλασματικής μονάδας είναι οι σημαίες των κρατών, π.χ. της Γαλλίας, που αποτελείται από 3 ίσα κομμάτια, ένα μπλε, ένα λευκό και ένα κόκκινο, καθένα εκ των οποίων είναι το 1/3 της σημαίας. Και τα τρία μαζί αποτελούν ολόκληρη τη σημαία της Γαλλίας.

Όταν παρονομαστής είναι το 10, 100, 1000, κ.ο.κ., έχουμε τα δεκαδικά κλάσματα

2 3 5 10 100 1000

και όταν σ’ αυτά αριθμητής είναι το 1, έχουμε τις δεκαδικές κλασματικές μονάδες:

1 1 1 10 100 1000

Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή το κλάσμα λέγεται γνήσιο και είναι μικρότερο της μονάδας, π.χ.

1 5

ενώ όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, το κλάσμα λέγεται καταχρηστικό και είναι μεγαλύτερο της μονάδας π.χ.

4 3

Όταν αριθμητής και παρονομαστής είναι ίσοι, τότε λέμε ότι το κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα (1):

4	=	1
4

Δυο κλάσματα που έχουν ίδιους παρονομαστές λέγονται ομώνυμα

3 , 2 5 5

ενώ όταν έχουν διαφορετικούς λέγονται ετερώνυμα

5 , 3 6 4

Σύγκριση κλασμάτων

Για να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα, πρέπει είτε α) αυτά να είναι ομώνυμα είτε β) να έχουν τον ίδιο αριθμητή. 

Από δυο ομώνυμα κλάσματα, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή, π.χ.  

4	‹	6
7		7

ενώ όταν δύο ετερώνυμα κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μικρότερο παρονομαστή, π.χ.

4 › 4 7 8

Μεικτοί αριθμοί
Οι αριθμοί που αποτελούνται από ακέραιο και κλάσμα λέγονται μεικτοί

1 3 4

Μετατροπή μεικτού σε κλάσμα 
Έναν μεικτό αριθμό, μπορούμε να τον μετατρέψουμε σε κλάσμα με δύο τρόπους:

Α. Μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα, με παρονομαστή τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του μεικτού και προσθέτουμε στη συνέχεια τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν.

1 3 = 4 + 3 = 7 4 4 4 4

Β. Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του μεικτού αριθμού με τον ακέραιο, προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή και το άθροισμα το βάζουμε ως νέο αριθμητή αφήνοντας παρονομαστή τον ίδιο:

1	3	=	(1x4)+3	=	7
	4		4		4

H αντίστροφη διαδικασία γίνεται όταν θέλουμε να μετατρέψουμε καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό αριθμό. Σ’ αυτή την περίπτωση, διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή, το πηλίκο το βάζουμε ως ακέραιο, το υπόλοιπο ως αριθμητή και το διαιρέτη ως παρονομαστή π.χ.

7 = 7:4 = 1 3 4 4

Iσοδύναμα είναι τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο ποσό ενός συνόλου, εκφρασμένο όμως με διαφορετικούς αριθμούς, π.χ.

Αν πολλαπλασιάσουμε «χιαστί» τους όρους δύο ισοδύναμων κλασμάτων, τα δύο γινόμενα που προκύπτουν είναι ίσα μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό ελέγχουμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα. 

Πώς προκύπτουν ισοδύναμα κλάσματα;

Ισοδύναμα κλάσματα προκύπτουν με δύο τρόπους:

Α. Αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο αριθμό

4	=	8
7		14

(και οι 2 όροι πολλαπλασιάζονται με το 2)

Β. Αν διαιρέσουμε (εφόσον αυτό είναι εφικτό) και τους δύο όρους (αριθμητή και παρονομαστή) του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο αριθμό

6	=	3
8		4

(και οι 2 όροι διαιρούνται με το 2)

Εξασκηθείτε παίζοντας ΕΔΩ

Μετατροπή ετερωνύμων σε ομώνυμα κλάσματα
Για να μετατρέψουμε δύο ή περισσότερα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, θα πρέπει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.Επειδή όμως αυτό είναι κάτι που θα το μάθουμε αργότερα, προς το παρόν θα χρησιμοποιούμε εμπειρικά τον παρακάτω κανόνα με τα καπελάκια.

Θέλω για παράδειγμα να μετατρέψω τα παρακάτω ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα

*Γράφω στο ημικύκλιο (καπελάκι), πάνω από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, τον παρονομαστή του δεύτερου.

**Το ίδιο κάνω και στην περίπτωση του δεύτερου κλάσματος

***Πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κάθε κλάσματος (αριθμητή & παρονομαστή) με τον αριθμό που είναι στο καπελάκι.

****Τα ισοδύναμα κλάσματα που προκύπτουν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, δηλαδή είναι ομώνυμα και μπορούμε πλέον να τα συγκρίνουμε, να τα προσθέσουμε ή να τα αφαιρέσουμε.

Πώς βρίσκουμε το κλάσμα ενός αριθμού;

Όταν θέλουμε να βρούμε το κλάσμα ενός ακεραίου ή γενικότερα ενός οποιουδήποτε αριθμού, πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο ή τον εκάστοτε αριθμό με το κλάσμα. Π.χ. Πόσο είναι τα 3/9 του 270;

Λύση: 

3	x	270	=	3x270	=	810	=	90
9				9		9

Τα κλάσματα μπορεί να γραφούν και ως δεκαδικοί αριθμοί με δύο τρόπους:

Α. Μετατρέπουμε, όταν αυτό είναι εφικτό, τον παρονομαστή σε 100:

4	=	4	x	4	=	4x4	=	16	=	0,16
25		25		4		4x25		100

Β. Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή:

4	=	4:25	=	0,16
25

Εξασκηθείτε παίζοντας ΕΔΩ 

Ο δάσκαλος του Ε2

Μιλτιάδης Ζωγράφος